Το μάθημα εισάγει τους σπουδαστές στις δομές ομάδων και τη θεωρία τους με στόχο την ανάπτυξη εργαλείων για την ταξινόμηση των ομάδων και την ανάδειξη των ποικίλων και σημαντικών εφαρμογών τους.Εισαγωγικά: Ιστορικά στοιχεία. Σχέση ισοδυναμίας – διαμέριση συνόλου. Διμελής πράξη. Στοιχεία θεωρίας αριθμών (διαιρετότητα ακεραίων, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη, το Θεώρημα Bezout).
Εισαγωγή στις ομάδες: Ομάδες, υποομάδες και βασικά παραδείγματα: ομάδες συμμετριών επίπεδων και στερεών γεωμετρικών αντικειμένων, οι διεδρικές ομάδες, οι ν-οστές ρίζες της μονάδας, δομές ομάδων με 2, 3, 4, 5 στοιχεία, ισοτιμίες ακεραίων, ομάδες αριθμών, ομάδες πινάκων, τα κουατέρνια. Ισομορφισμός ομάδων.
Οι κυκλικές ομάδες, οι υποομάδες τους και το Θεώρημα Ταξινόμησης των κυκλικών ομάδων. Υποομάδες των μιγαδικών αριθμών.
Ομάδες μεταθέσεων: Τροχιές, κύκλοι, αντιμεταθέσεις, η εναλλάσσουσα υποομάδα. Το Θεώρημα Cayley.
Σύμπλοκα υποομάδας σε ομάδα, εφαρμογές στους γραμμικούς κώδικες. Το Θεώρημα Lagrange και σημαντικά πορίσματα. Το Μικρό Θεώρημα Fermat, το Θεώρημα Euler και εφαρμογές.
Ομομορφισμοί, πυρήνας και εικόνα ομομορφισμού, κανονικές υποομάδες, ομάδες-πηλίκα, το Θεμελιώδες Θεώρημα Ομομορφισμού. Απλές ομάδες. Ο κανονικοποιητής, η αντιμεταθέτρια υποομάδα, αβελιανοποίηση. Εφαρμογές στην Αλγεβρική Τοπολογία.
Ελεύθερες ομάδες, ελεύθερες αβελιανές ομάδες, παράσταση ομάδας και παραδείγματα, το Θεώρημα Ταξινόμησης Πεπερασμένα Παραγόμενων Αβελιανών Ομάδων, γεωμετρικές αναπαραστάσεις και γεωμετρικές ερμηνείες.
Η έννοια της δράσης ομάδας σε σύνολο, σημαντικά παραδείγματα, ομάδες ισοτροπίας, τροχιές, το θεώρημα Burnside, εφαρμογές σε προβλήματα διακριτών μαθηματικών.
Εισαγωγή σε δακτυλίους, σώματα, ακέραιες περιοχές και βασικά παραδείγματα.
- Διδάσκων: Σοφία Λαμπροπούλου
Συνδιδασκαλία: 1374
Διδακτικές Μονάδες : 4
Φόρτος Εργασίας : theory 4, lab 0
Γλώσσα : el, en
Μαθησιακά Αποτελέσματα : Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής/τρια θα είναι σε θέση να:
Αντιλαμβάνεται την έννοια της αλγεβρικής δομής και ειδικότερα της ομάδας, τόσο ως αφηρημένη έννοια όσο και ως υλοποιήσιμη από συγκεκριμένα παραδείγματα.
Κατανοήσει τις βασικές έννοιες, τους συσχετισμούς τους και τα θεωρητικά εργαλεία που πρέπει να αναπτυχθούν για την ταξινόμηση των ομάδων.
Εξηγήσει την δομή γνωστών ομάδων και τις σχέσεις μεταξύ τους.
Υπολογίσει τάξεις υποομάδων, πλήθος συμπλόκων, τάξεις πυρήνων και εικόνων ομομορφισμών, με χρήση του Θεωρήματος Lagrange, καθώς και πλήθος τροχιών από δράση ομάδας σε σύνολο, με χρήση του Θεωρήματος Burnside.
Γενικεύσει παραδείγματα ομάδων, όπως σε ομάδες στερεών γεωμετρικών σχημάτων.
Εκτιμήσει πώς ακριβώς χρησιμοποιούνται οι ομάδες σε εφαρμογές σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών και άλλες επιστήμες, καθώς και τη δύναμη των θεωρητικών εργαλείων.
Εκτιμήσει την ομορφιά και τη δύναμη των Μαθηματικών μέσα από κομψές αποδείξεις σημαντικών θεωρημάτων.