Το μάθημα ξεκινάει με το Θεώρημα Burrnside από τη θεωρία δράσης ομάδας σε σύνολο, και την εφαρμογή της θεωρίας στην απόδειξη του Θεωρήματος Cauchy και των Θεωρημάτων Sylow. Τα Θεωρήματα Cauchy και 1ο Sylow δίνουν το καλύτερο δυνατό αντίστροφο του Θεωρήματος Lagrange. Στη συνέχεια εισάγει τους σπουδαστές στη θεωρία των δακτυλίων και των σωμάτων με στόχο την εύρεση σώματος που να περιέχει μια ρίζα ενός πολυωνύμου, και την απόδειξη του αδυνάτου κάποιων κλασικών γεωμετρικών κατασκευών, όπως ο τετραγωνισμός του κύκλου και η τριχοτόμηση της γωνίας. Αρχίζει με τους δακτυλίους κλάσεων υπολοίπων και τους πολυωνυμικούς δακτυλίους, τις ακέραιες περιοχές, όπως αυτή των ακεραίων και την κατασκευή των ρητών από τους ακεραίους. Ορίζουμε την χαρακτηριστική δακτυλίου και βρίσκουμε τα βασικά σώματα βάσει αυτής. Μαθαίνουμε την έννοια του ιδεώδους, κατ’ αναλογία με την κανονική υποομάδα, και την κατασκευή δακτυλίων-πηλίκων. Επίσης για τα πρώτα, τα μέγιστα και τα κύρια ιδεώδη, πολύ βασικές έννοιες για την κατασκευή επεκτάσεων σωμάτων ριζών πολυωνύμων. Συνεχίζουμε με την θεωρία των σωμάτων, τις επεκτάσεις σωμάτων, απλές και αλγεβρικές επεκτάσεις, η έννοια της αλγεβρικής θήκης. Αποδεικνύουμε το αδύνατο κάποιων κλασικών γεωμετρικών κατασκευών με κανόνα και διαβήτη και βλέπουμε την δομή των πεπερασμένων σωμάτων. Τέλος γίνεται σύντομη εισαγωγή στη Θεωρία Galois και στο πρόβλημα της 5βάθμιας εξίσωσης.
Συνδιδασκαλία: 1458
Διδακτικές Μονάδες : 4
Φόρτος Εργασίας : theory 4, lab 0
Γλώσσα : el
Μαθησιακά Αποτελέσματα : Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής/τρια θα είναι σε θέση να:
Κατανοήσει σε βάθος μερικά από τα θεωρητικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται για την μελέτη και ταξινόμηση των ομάδων.
Αντιλαμβάνεται την έννοια της αλγεβρικής δομής και ειδικότερα του δακτυλίου, της ακεραίας περιοχής και του σώματος, τόσο ως αφηρημένες έννοιες όσο και μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα.
Αντιλαμβάνεται την έννοια του πολυωνύμου ως αλγεβρικό αντικείμενο και του ομομορφισμού εκτίμησης, και την χρήση τους στην κατασκευή επεκτάσεων σωμάτων.
Κατανοήσει τις σημαντικές διαφορές ανάμεσα σε δακτυλίους, ακέραιες περιοχές και σώματα και τους συσχετισμούς τους.
Εξηγήσει το αδύνατον του τετραγωνισμού του κύκλου, της τριχοτόμησης της γωνίας, και άλλων κλασικών προβλημάτων, με κανόνα και διαβήτη.
Εκτιμήσει την ομορφιά και το χτίσιμο μιας μαθηματικής θεωρίας, καθώς και τη δύναμη των θεωρητικών εργαλείων που οδηγούν σε απαντήσεις ανοικτών προβλημάτων πολλών αιώνων.
Εκτιμήσει την ομορφιά και τη δύναμη των Μαθηματικών μέσα από κομψές αποδείξεις σημαντικών θεωρημάτων.