Πληροφορίες μαθήματος

Εισαγωγή, το πρόβλημα του μέτρου. Μέτρο Lebesgue: Εξωτερικό μέτρο Lebesgue, μετρήσιμα σύνολα, η δομή των μετρήσιμων συνόλων, μη μετρήσιμα σύνολα. Μετρήσιμες συναρτήσεις, ακολουθίες μετρήσιμων συναρτήσεων, θεωρήματα Egorov και Lusin. Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων. Το ολοκλήρωμα Lebesgue: Απλές συναρτήσεις, το ολοκλήρωμα μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης, βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος. Θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue, λήμμα του Fatou. Το γενικό ολοκλήρωμα του Lebesgue. Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, θεώρημα Beppo Levi. Σύγκριση των ολοκληρωμάτων Riemann και Lebesgue, προσέγγιση ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Σύγκλιση ως προς το μέτρο ακολουθίας μετρήσιμων συναρτήσεων. Εφαρμογές στην Ανάλυση Fourier: Λήμμα των Riemann-Lebesgue, μία αναγκαία συνθήκη για τη σύγκλιση τριγωνομετρικής σειράς(θεώρημα Cantor- Lebesgue) και μία ικανή συνθήκη για την απόλυτη σύγκλιση τριγωνομετρικής σειράς (θεώρημα Lusin-Denjoy). Χώροι LP [α,b]: Οι ανισότητες των Young, Hölder και Minkowski, πληρότητα των χώρων LP [α,b], 1 p + Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή στους LP [α,b], οι συζυγείς χώροι των LP [α,b], 1 p <+ και ο συζυγής χώρος του C [α,b] (χώρος των συνεχών συναρτήσεων στο [α,b]).