Εισαγωγικές Έννοιες: Ορισμοί, Έννοια λύσης και γεωμετρικά χαρακτηριστικά.Προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών. Καλά τοποθετημένα προβλήματα. Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών,γραμμικές, ομογενείς, ακριβείς, Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης: Riccati,Lagrange, Clairaut. Ποιοτική Θεωρία: Υπαρξη και μοναδικότητα λύσης. Θεωρήματα Picard, Peano. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις: Γενική θεωρία. Γραμμική ανεξαρτησία. Ορίζουσα Wronski. Ομογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων(Lagrange). Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών. Εξίσωση Euler. Επίλυση με σειρές: Δυναμοσειρές. Λύση σε ομαλό σημείο. Εξίσωση Legendre. Λύση σε κανονικό ανώμαλο σημείο. Θεωρία Frobenius. Εξισώσεις Bessel. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων: Εισαγωγή, επίλυση με απαλοιφή. Γενική θεωρία. Συστήματα με σταθερούς συντελεστές, ομογενή και μη ομογενή. Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμός. Ιδιότητες. Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace. Εφαρμογές. Συνάρτηση Heaviside. Συνάρτηση δέλτα του Dirac. Συνέλιξη. Στοιχεία μιγαδικής ανάλυσης. Έννοιες συνέχειας και παραγωγισιμότητας. Ολόμορφες και αναλυτικές συναρτήσεις. Οι συνθήκες Cauchy - Riemann. Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων. Υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων δια μέσου μιγαδικού λογισμού. Ολοκληρώματα Fourier και εφαρμογές.
- Διδάσκων: Ευανθία Δούκα
- Διδάσκων: Γεώργιος Σμυρλής
Διδακτικές Μονάδες : 5
Γλώσσα : el
Μαθησιακά Αποτελέσματα : Το μάθημα αυτό αποτελεί το βασικό μάθημα εφαρμοσμένων μαθηματικών που κρίνεται απαραίτητο στα πλαίσια των Επιστημών Μηχανικού.
Ή ύλη του μαθήματος στοχεύει αρχικά στην εισαγωγή των σπουδαστών στις βασικές αρχές και έννοιες μοντελοποίησης φυσικών διεργασιών με διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Μια πρώτη εξοικείωση με την εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων μέσα από την αποδόμηση των ισοζυγίων που περιγράφουν τη φυσική συμπεριφορά των φυσικών διαδικασιών είναι απαραίτητη για κάθε εκολλαπτόμενο Μηχανικό, ώστε να είναι σε θέση να μοντελοποιεί συνθετότερα προβλήματα εφαρμογών. Η κατανόηση της ενότητας ενός διαφορικού νόμου και των συνοριακών ή (και) αρχικών συνθηκών που το συνοδεύουν, η οποία ενότητα οδηγεί στη συγκρότηση καλά τοποθετημένων προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών, είναι μια απαραίτητη εννοιολογικά προϋπόθεση για την κατανόηση της αλληλοεξάρτησης μεταξύ του μηχανισμού εξέλιξης ενός συστήματος και των συνθηκών αλληλεπίδρασης αυτού με το περιβάλλον του κατά τη μελέτη μιας πειραματικής ή πραγματικής διαδικασίας.
Στη συνέχεια, προσφέρονται όλα τα αναλυτικά εργαλεία για την επίλυση των προαναφερθέντων προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών με δύο βασικούς γνωσιακούς πυλώνες: Τον λογισμό των διαφορικών εξισώσεων και το πεδίο της Μιγαδικής Ανάλυσης. Το μαθησιακό αποτέλεσμα είναι η δόμηση μιας ισχυρής και συγκροτημένης γνώσης των ποιοτικών αναλυτικών μεθόδων για την μελέτη μιας μεγάλης γκάμας προβλημάτων εφαρμοσμένων μαθηματικών με στόχευση σε προβλήματα Μηχανικού και ειδικότερα Ναυπηγού Μηχανικού.
Ως προς το τελευταίο, τονίζουμε την έμφαση στη παρουσίαση πρωτολειακών μορφών της εξίσωσης Navier-Stokes καθώς και μελέτης διδιάστατων ροών όπου ο συγκερασμός θεωρίας διαφορικών εξισώσεων και μιγαδικής ανάλυσης αποτελεί μια εξαιρετική μόχλευση μεθοδολογιών που ενισχύει δραστικά το θεωρητικό υπόβαθρο των φοιτητών και οξύνει την ερευνητική τους ικανότητα με έναν ολιστικό τρόπο.
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / τρια :
• θα έχει αναπτύξει μια ολοκληρωμένη άποψη για τα χαρακτηριστικά της ερευνητικής δραστηριότητας.
• θα έχει αποκτήσει μια συγκροτημένη γνώση με όλα τα χρήσιμα μαθηματικά και αναλυτικά εργαλεία που θα του επιτρέπουν να προβαίνει σε μοντελοποίηση φυσικών διεργασιών.
• θα έχει κατανοήσει τις βασικές αρχές επίλυσης μοντέλων προσομοίωσης προβλημάτων της Επιστήμης του Μηχανικού.
• θα έχει εντρυφήσει στις αρχές της διεπιστημονικότητας, δεδομένης της συνύπαρξης στο μάθημα πολλών αλλά άρρηκτα συνδεδεμένων θεματικών υποενοτήτων.