Επιλογές εγγραφής
3397 Θεωρία Μέτρου και Εφαρμογές
7ο Εξάμηνο ΗΜΜΥ
Διδακτικές Μονάδες : 4
Φόρτος Εργασίας : theory 4, lab 0
Γλώσσα : el
Μαθησιακά Αποτελέσματα : Στο μάθημα γίνεται συστηματική ανάπτυξη της γενικής θεωρίας μέτρου. Η θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης κατά Lebesgue παίζουν κεντρικό ρόλο σε όλο το φάσμα της Ανάλυσης και της μοντέρνας Θεωρίας Πιθανοτήτων και ο στόχος του μαθήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τα εργαλεία που παρέχει αυτή η θεωρία. Παρότι το μέτρο Lebesgue είναι σημαντικό μέρος του μαθήματος, η έμφαση είναι στην γενική θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης. Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής/τρια θα είναι σε θέση να:
•Έχει κατανοήσει τις έννοιες της άλγεβρας, σ-άλγεβρας, κλάσης Dynkin και μονότονης κλάσης, τις σχέσεις μεταξύ τους και του ρόλου που επιτελεί η καθεμία στην θεωρία μέτρου. Γνωρίζει επίσης την έννοια της σ-άλγεβρας που παράγεται από μία οικογένεια συνόλων και την έννοια της Borel σ-άλγεβρας ενός μετρικού χώρου.
•Έχει κατανοήσει τις έννοιες του μέτρου, του εξωτερικού μέτρου και είναι σε θέση να συνδέει την έννοια του μέτρου με την ήδη γνωστή του έννοια της πιθανότητας.
•Έχει κατανοήσει την έννοια του πλήρους χώρου μέτρου και γνωρίζει πως πληρώνεται ένας χώρος μέτρου.
•Γνωρίζει την κατασκευή του μέτρου Lebesgue στον μονοδιάστατο και πολυδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, έχει κατανοήσει την έννοια του Lebesgue μετρήσιμου συνόλου και γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue.
•Έχει κατανοήσει την έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης, την προσέγγιση μετρήσιμης συνάρτησης από απλές, την έννοια του ολοκληρώματος ως προς κάποιο μέτρο και τις βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος.
•Γνωρίζει τα βασικά οριακά θεωρήματα της θεωρίας ολοκλήρωσης κατά Lebesgue, συγκεκριμένα του θεωρημάτων μονότονης και κυριαρχημένης σύγκλισης, του λήμματος του Fatou και του θεωρήματος Beppo Levi και πώς και πότε αυτά χρησιμοποιούνται.
•Έχει κατανοήσει την σχέση του ολοκληρώματος Lebesgue με το ήδη γνωστό του ολοκλήρωμα Riemann.
•Γνωρίζει την ανισότητα Markov και έχει δει κάποιες από τις χρήσεις της.
•Γνωρίζει τους βασικούς τρόπους σύγκλισης ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την σχεδόν παντού σύγκλιση, την σύγκλιση κατά μέτρο και την σύγκλιση κατά μέσο ή L1-σύγκλιση και τις σχέσεις μεταξύ τους.
•Γνωρίζει την έννοια του μέτρου γινόμενου, τις απαιτήσεις για την ύπαρξη του, τις ακριβείς διατυπώσεις και απαιτήσεις των θεωρημάτων Tonelli και Fubini και κάποιες βασικές εφαρμογές των θεωρημάτων αυτών.
•Εισαγωγή, το πρόβλημα του μέτρου.
•Κλάσεις συνόλων: άλγεβρες, σ-άλγεβρες, κλάσεις Dynkin.
•Χώροι μέτρου, εξωτερικά μέτρα. Πλήρη μέτρα και πλήρωση ενός χώρου μέτρου, κανονικότητα μέτρου.
•Μέτρο Lebesgue. Η δομή των μετρήσιμων συνόλων, μη μετρήσιμα σύνολα.
•Μετρήσιμες συναρτήσεις, ακολουθίες μετρήσιμων συναρτήσεων, θεωρήματα Egorov και Lusin. Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων.
•Ολοκλήρωμα Lebesgue: Απλές συναρτήσεις, το ολοκλήρωμα μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης, βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος. Θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue, λήμμα του Fatou. Το γενικό ολοκλήρωμα του Lebesgue. Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, θεώρημα Beppo Levi. Ολοκλήρωμα ως προς το μέτρο Lebesgue στην ευθεία και η σχέση του με το ολοκλήρωμα Riemann.
•Θέματα: Τρόποι σύγκλισης ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων. Χώροι Lp. Μέτρο γινόμενο, θεώρημα Fubini. Προσημασμένα μέτρα, θεώρημα Radon–Nikodym.
Οι επισκέπτες δεν έχουν πρόσβαση στο μάθημα αυτό. Παρακαλούμε συνδεθείτε (με τον λογαριασμό σας).