Αριθμητικές Μέθοδοι στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Eισαγωγικό Παράδειγμα: Το πρόβλημα Dirichlet. Ασθενής μορφή. Αριθμητική επίλυση με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων. Προβλήματα Συνοριακών Τιμών και Μέθοδος Galerkin: Γενική ασθενής μορφή. Θεώρημα Lax-Milgram. Μέθοδος Galerkin. Εκτίμηση σφάλματος. Μεταβολική μορφή. Μέθοδος Rayleigh-Ritz-Galerkin. Γενικευμένες παράγωγοι και χώροι Sobolev. Τύποι Green. Ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών τιμών. Ύπαρξη και μοναδικότητα. Μικτές συνοριακές συνθήκες. Εφαρμογές. Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Ελλειπτικά Προβλήματα Συνοριακών Τιμών: Μονοδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. Tμηματικά πολυωνυμικές συναρτήσεις. Κυβικές συναρτήσεις Hermite και splines. Διδιάστατα και τρισδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. Κατά στοιχεία πολυωνυμικές συναρτήσεις. Συναρτήσεις τανυστικά γινόμενα. Εκτιμήσεις σφάλματος. Εφαρμογές: Ροή ρευστού, Ροή ρευστού, Ροή θερμότητας, Διάφορα ηλεκτρολογικά δυναμικά, Φορτισμένη δοκός, Φορτισμένη πλάκα. Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Εξελικτικά Προβλήματα Συνοριακών Τιμών: Παραβολικά και υπερβολικά προβλήματα. Μέθοδοι Euler και Crank-Nicholson. Ευστάθεια. Εκτιμήσεις σφάλματος. Εφαρμογές: Εξίσωση διάχυσης θερμότητας, Κυματική εξίσωση, Παλλόμενη δοκός και παλλόμενη πλάκα. Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών: Προβλήματα Sturm- Liouville και Dirichlet. Εξίσωση θερμότητας. Κυματική εξίσωση. Συμβατότητα, ευστάθεια και σύγκλιση.