Δυναμική Συστημάτων και Ταλαντώσεις

Εισαγωγή στην Θεωρία Διακλαδώσεων (Bifurcation theory): Τροχιές, σημεία ισορροπίας, περιοδικές ταλαντωτικές τροχιές, διαγράμματα φάσεων. Ελκυστές και διακλαδώσεις. Ο ταλαντωτής Duffing (χωρίς εξωτερική επιβολή). O ταλαντωτής Van der Pol. Εισαγωγή στην θεωρία των αναλλοίωτων πολυπλοτήτων (invariant manifolds): ευσταθείς, ασταθείς, κεντρικές. Επισκόπηση μη-γραμμικών φαινομένων. Τοπική διακλάδωση λύσεων ισορροπίας και ευστάθεια σε μια διάσταση και δύο διαστάσεις: Σημεία καμπής (turning points), αμφίπλευρη (transcritical) και μονόπλευρη (pitchfork) διακλάδωση. Λυγισμός και ταλάντωση ράβδου. Τοπική Διακλάδωση Περιοδικών λύσεων από λύσεις ισορροπίας σε δύο και περισσότερες διαστάσεις: Διακλάδωση Ηopf-Andronov. Δυναμική συναγωγής ρευστού που περιγράφεται από τις εξισώσεις Lorentz. Απεικονίσεις Poincaré: Ο περιοδικά εξαναγκασμένος ταλαντωτής Duffing. Ευστάθεια περιοδικών λύσεων αυτόνομων συστημάτων. Ο μονόδρομος (monodromy) πίνακας. Διακλαδώσεις σημείων ισορροπίας απεικονίσεων. Μηχανισμοί απώλειας ευστάθειας. Σημεία διακλάδωσης περιοδικών λύσεων, διπλασιασμού της περιόδου (period-doubling), διακλάδωση σε τόρο (torus). To παράδειγμα των εξισώσεων νευροδιέγερσης FitzHugh. Κλείδωμα Φάσεων (phase-locking). To παράδειγμα του εξαναγκασμένου ταλαντωτή Van der Pol. Ολικές (global) διακλαδώσεις: Ομοκλινική και Ετεροκλινική διακλάδωση. Θεώρημα Andronov-Leontovich. Μέθοδος Melnikov για ομοκλινικές τροχιές. Εισαγωγή σε χαοτικές δυναμικές: Παράξενοι Ελκυστές. Οι εξι- σώσεις συναγωγής Lorenz. O ταλαντωτής Duffing. Δρόμοι προς το Χάος. Δρόμος μέσω τόρου, μέσω διπλασιασμού της περιόδου μέσω διαλειπτότητας (intermittency). Εκθέτες Lyapunov. Χαρακτηρισμός ελκυστών. Υπολογισμός εκθετων Lyapunov από χρονοσειρές. Φάσματα ισχύος (power spectra).