Γεωμετρίες και Γεωμετρική Σχεδίαση

(1) Ευκλείδεια γεωμετρία. Αξιωματικοποίηση ευκλείδειας γεωμετρίας. Καθετότητα και παραλληλία ευθειών και επιπέδων. Ασυμβατότητα ευθειών. Θεώρημα τριών καθέτων. Δίεδρες και στερεές γωνίες. Πολύεδρα και στερεά. Θεώρημα Euler. Γενικευμένο πρίσμα, πυραμίδα, κώνος, κύλινδρος. Σφαίρα. Τετράεδρα. Όγκος. Κανονικά στερεά, Αρχιμήδεια στερεά, αντιπρίσματα. Ισομετρίες αντιστροφές. (2) Υπερβολική Γεωμετρία. Το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη και οι αρνήσεις του. Σφαίρα του Riemann και διπλός λόγος τεσσάρων σημείων της. Μετασχηματισμοί Mobius. Αξιωματικοποίηση υπερβολικής γεωμετρίας. Μοντέλα υπερβολικού επιπέδου, υπερβολικές ισομετρίες. Παραλληλία, υπερπαραλληλία, σχετικότητα και απολυτότητα μετρήσεων. Εμβαδά. (3) Προβολική Γεωμετρία. Τομή και προβολή. Προοπτικότητες, ομολογίες, επ’ άπειρον σημεία. Αξιωματικοποίηση προβολικής γεωμετρίας, δυικότητα. Θεώρημα Desargues, Θ. Πάππου. Απλοί και διπλοί λόγοι, αρμονικές τετράδες σημείων, αρμονικά συζυγή σημεία. Τετράπλευρα και τετρακόρυφα. Κύκλοι στο προβολικό επίπεδο, συνεκτικότητα και προσανατολισιμότητα. Ομογενείς συντεταγμένες. Κωνικές τομές. Προβλήματα του Απολλωνίου. (4) Παραστατική Γεωμετρία. Ίχνη, κατάκλιση επιπέδων. Παράσταση με προβολές σε δύο επίπεδα (Monge). Παράσταση με προβολές σε ένα επίπεδο με υψόμετρα. Αξονομετρία. Παράσταση τομής επιπέδου με στερεό. Παράσταση κυλινδρικής έλικας. Γραφική επίλυση σχεδιαστικών και μετρικών προβλημάτων: χάραξη κάτοψης στέγης, διαπίστωση ορατότητας και χάραξη σήραγγας σε τοπογραφικό, εύρεση αληθών μηκών, γωνιών και εμβαδών. (5) Άλλες Γεωμετρίες. Στοιχεία απόλυτης και ομοπαραλληλικής γεωμετρίας, μορφοκλάσματα.