Λογισμός Πολλών Μεταβλητών

Εισαγωγή: Ο Ευκλείδειος χώρος Rn. Η έννοια της νόρμας και της απόστασης. Η τοπολογία του Rn. Ακολουθίες στον Rn. Συναρτήσεις μεταξύ Ευκλείδειων χώρων, η γραφική τους αναπαράσταση, ισοσταθμικές καμπύλες και επιφάνειες. Όριο και συνέχεια συ¬ναρτήσεων. Όριο κατά μήκος καμπύλης. Παράγωγοι Διανυσματικών Συναρ¬τήσεων μιας Μεταβλητής: Παράγωγοι διανυσματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Εφαρμογές στη Διαφορική Γεωμετρία και τη Μηχανική. Οι κα-μπυλόγραμμες συντεταγμένες και τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα τους. Διαφορίσιμες συναρτήσεις: Μερική παράγωγος. Μερικές παράγωγοι ανωτέρας τάξης. Θεώρημα Schwarz, Παράγωγος κατά κατεύθυνση. Διαφορικό 1ης τάξης και βέλτιστη γραμμική προσέγγιση, εφαπτόμενο επίπεδο επιφάνειας. Μερική παράγωγος σύνθετης συνάρτησης και εφαρμογές. Κλίση. Απόκλιση και στροβιλισμός, Λαπλασιανή, Γραμμές ροής διανυσματικού πεδίου. Υλική παρά¬γωγος. Βασικά θεωρήματα:Διαφορικά ανώτερης τάξης.Τύπος Taylor. Θεώρημα αντί¬στροφης συνάρτησης. Πεπλεγμένες συναρτήσεις. Θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης. Συναρτησιακή εξάρτηση. Ακρότατα: Ακρότατα συναρτήσεων. Δεσμευμένα ακρότατα και η μέθοδος πολλαπλασιαστών του Lagrange. Διπλά ολοκληρώματα: Ορισμός, υπολογισμός σε Καρτεσιανές συντεταγμένες. Πολικές συντεταγμένες, αλλαγή μεταβλητών. Εφαρμογές. Τριπλά ολοκληρώματα: Ορισμός, υπολογισμός σε Καρτεσιανές συντεταγμένες. Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Εφαρμογές. Επικαμπύλια ολοκληρώματα: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α΄είδους, υπολογισμός και εφαρμογές. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα β΄είδους, υπολογισμός και εφαρμογές. Ανεξαρτησία από το δρόμο, πολλαπλώς συνεκτικά πεδία. Επιφανειακά ολοκληρώματα: Επιφανειακό ολοκλήρωμα α΄είδους, υπολογισμός και εφαρμογές. Επιφανειακό ολοκλήρωμα β΄είδους, υπολογισμός και εφαρμογές. Βασικά θεωρήματα της Διανυσματικής Ανάλυσης.Θεώρημα Green.Θεώρημα του Stokes. θεώρημα του Gauss, Εφαρμογές, Ολοκληρωτικοί τύποι του Green.