Επιλογές εγγραφής
2008 Μαθηματικά Α1
1ο Εξάμηνο ΜΜ
Διδακτικές Μονάδες : 5
Γλώσσα : el
Μαθησιακά Αποτελέσματα : Γνώσεις:
Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στη Μαθηματική Ανάλυση Ι που έχει ως κύριο αντικείμενο τη μελέτη των πραγματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής.
Η Μαθηματική Ανάλυση είναι πολύτιμο εργαλείογια πολλούς επιστημονικούς τομείς,συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών και φυσικών επιστημών, της μηχανικής, τωνεπιστημών της οικονομίας και της διαχείρισης καθώς και της επιστήμης των Η/Υ. Παράλληλα, έχει μεγάλη αξία για όποιον επιθυμεί να αναπτύσσει την ικανότητα να σκέφτεται αφαιρετικά, να αναλύει τις μαθηματικές καταστάσεις και να επεκτείνει ιδέες σε ένα νέο πλαίσιο.
Το μάθημα εισάγει τους σπουδαστές στις βασικές έννοιες της Ανάλυσης που είναι η σύγκλιση (δηλ. η ύπαρξη του ορίουακολουθίας ή συνάρτησης),η παράγωγος και το ολοκλήρωμα συνάρτησης.
Αρχικά παρουσιάζεται η μέθοδοςτης Μαθηματικής Επαγωγής που αποτελεί μια πολύισχυρή και ευέλικτη µέθοδο απόδειξης προτάσεων που αφορούν φυσικούς αριθμούς. Στη συνέχεια γίνεται μια πλήρης μελέτη των ακολουθιών και των σειρών πραγματικών αριθμών και της σύγκλισής τους μεέμφαση στα αξιοσημείωτα όρια ακολουθιών και στα βασικά κριτήρια σύγκλισης σειρών. Επίσης, δίνεται η έννοια του ορίου και της συνέχειας μιας πραγματικής συνάρτησης και η στενή σχέση που τις συνδέει με την έννοια του ορίου ακολουθίας (π.χ. αρχή της μεταφοράς). Επιπλέον, παρουσιάζονται οι θεμελιώδεις ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται σε διαστήματα. Η έννοια της παραγώγου καθώς και τα βασικά σχετικά θεωρήματα (π.χ. Θ. Μέσης Τιμής) παρουσιάζονται αμέσως μετά. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στο Θ.Taylor και στις εφαρμογές του (π.χ. προσεγγιστικοί υπολογισμοί, απόδειξη συναρτησιακών ανισοτήτων, εύρεση τοπικών ακροτάτων συνάρτησης, κ.α.).
Μελετώνται στη συνέχεια οι δυναμοσειρέςπου είναι οιπιο απλές και χρήσιμες μορφές σειρών συναρτήσεων (ακτίνα και διάστημα σύγκλισης, παραγώγιση και ολοκλήρωση δυναμοσειράς)και αποδεικνύονται τα αναπτύγματα σε δυναμοσειρά των βασικώνσυναρτήσεων (π.χ.εκθετικής, τριγωνομετρικών συναρτήσεων, λογαρίθμου). Στη συνέχεια παρουσιάζονται η έννοια της παράγουσας, του αόριστου ολοκληρώματος και κάποιες βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης.Το ορισμένο ολοκλήρωμα Riemann πραγματικής συνάρτησης έχει τις βάσεις του στη μέθοδο εξάντλησης του Αρχιμήδη και παίζει κυρίαρχο ρόλο στην Ανάλυση και στις εφαρμογές (π.χ. υπολογισμός εμβαδών και όγκων). Στο μάθημα παρατίθενται ο ορισμός, παραδείγματα και βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος. Κυρίως γίνεται εστίαση στο ορισμένο ολοκλήρωμα συνεχών ήτμηματικά συνεχών συναρτήσεων. Παρουσιάζεται επίσης τοΘεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού που μας επιτρέπει τον αναλυτικό υπολογισμό πληθώρας ορισμένων ολοκληρωμάτων. Τέλος, μελετώνται τα γενικευμένα ολοκληρώματα α’και β είδους και δίνονται τα βασικά κριτήρια σύγκλισης.
Δεξιότητες:
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής/τριακυρίωςθα είναι σε θέση να:
• Έχει κατανοήσει τις έννοιες του ορίου ακολουθίας ή συνάρτησης, της συνέχειας,της παραγώγου και του ορισμένου ολοκλήρωμα συνάρτησης.
• Μελετάως προς σύγκλιση ακολουθίες, σειρές και γενικευμένα ολοκληρώματα.
• Υπολογίζει με ευχέρεια ορισμένα και αόριστα ολοκληρώματα.
• Εφαρμόζει το Θ. Taylor για προσεγγιστικούς υπολογισμούς, απόδειξη ανισοτήτων κι εντοπισμό τοπικών ακροτάτων συνάρτησης.
• Αναπτύσσει σε δυναμοσειρά μια συνάρτηση που ο τύπος της εμπεριέχει κάποιες από τις βασικές πραγματικές συναρτήσεις.
Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός συναρτήσεων μίας πραγματικής μεταβλητής. Ακολουθίες και σειρές πραγματικών αριθμών. Κριτήρια σύγκλισης. Τεχνικές ολοκλήρωσης. Γενικευμένο ολοκλήρωμα. Εφαρμογές σε υπολογισμούς εμβαδών, μηκών και όγκων.
Οι επισκέπτες δεν έχουν πρόσβαση στο μάθημα αυτό. Παρακαλούμε συνδεθείτε (με τον λογαριασμό σας).