2246 | courses

Επιλογές εγγραφής

Διδακτικές Μονάδες : 6

Γλώσσα : el

Μαθησιακά Αποτελέσματα : ΓΝΩΣΕΙΣ: Τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γείναι το εισαγωγικό μάθημα στη Θεωρία των Συνήθων και Μερικών Διαφορικών εξισώσεων. Για τη σωστή προσέγγιση στο μάθημα απαιτείται πολύ καλή γνώση του Λογισμού Μιας Μεταβλητής αλλά και κάποιων θεμάτων του Λογισμού των Πολλών Μεταβλητών, της Γραμμικής Άλγεβρας και της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Στο μάθημα αυτό ο φοιτητής εισάγεται κατ αρχή στο Μέρος Α στις βασικές έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων και ειδικότερα αυτές των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων. Στη συνέχεια έρχεται σε επαφή με το βασικό λογισμό των Γραμμικών και Μη Γραμμικών Εξισώσεων 1ης Τάξης. Γίνεται γνώστης των κλασικών τεχνικών επίλυσης Γραμμικών Εξισώσεων και Συστημάτων (ομογενών και μη) με σταθερούς συντελεστές οποιουδήποτε βαθμού. Για τα αντίστοιχα προβλήματα με μη σταθερούς συντελεστές γίνεται εισαγωγή στη Θεωρία Δυναμοσειρών και εφαρμογή αυτής σε τέτοια προβλήματα. Εισάγεται η έννοια των Ολοκληρωτικών Μετασχηματισμών, αναλύεται η σημασία τους και γίνεται χρήση του Μετασχηματισμού Laplace τόσο σε κλασικές όσο και σε εξειδικευμένες μορφές (Συναρτήσεις Heaviside, Συνάρτηση δ-Dirac, Ολοκληρωδιαφορικές, κ.α.) Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων και Συστημάτων. Στη συνέχεια μελετώνται σε εισαγωγικό επίπεδο θέματα Γεωμετρικής Ποιοτικής Θεωρίας, όσον αφορά την ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων των Διαφορικών Εξισώσεων με την παρουσίαση της Γραμμικής και Μη Γραμμικής Θεωρίας Ευστάθειας. Τέλος, αναπτύσσονται τα θέματα των προβλημάτων συνοριακών τιμών τόσο από θεωρητική πλευρά όσο και από την πλευρά των συγκεκριμένων τεχνικών επίλυσης. Για να μπορέσουμε να κάνουμε χρήση αυτών των τεχνικών παρουσιάζουμε πρώτα τα βασικά σημεία των Σειρών Fourier.Αυτά τα δύο τελευταία θέματα αποτελούν τα αναγκαία εργαλεία για την εισαγωγή στη μελέτη των γραμμικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, πράγμα που αποτελεί το αντικείμενο του Μέρους Β του μαθήματος. Στο Μέρος Β, μετά από μια σύντομη εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, την ταξινόμηση των γραμμικών 2ης τάξης, γίνεται αναλυτική παρουσίαση της εφαρμογής της μεθόδου του Χωρισμού των Μεταβλητών (Μέθοδος Fourier) στις 3 βασικές εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής (εξίσωση Laplace, εξίσωση θερμότητας και Κυματική εξίσωση) σε φραγμένο πεδίο και σε (χωρικές) διαστάσεις 1, 2, 3. Τα πεδία στο επίπεδο και το χώρο είναι ορθογώνια, κυκλικά, κυλινδρικά και σφαιρικά (ή τμήματα αυτών). Στη συνέχεια μελετώνται αυτές οι τρεις βασικές εξισώσεις σε μη φραγμένο πεδίο, κατ αρχήν με τη βοήθεια του Ολοκληρώματος Fourier και στη συνέχεια με τη χρήση των Ολοκληρωτικών Μετασχηματισμών Laplace και Fourier. Τέλος, παρουσιάζεται η μέθοδος της συνάρτησης Green και γίνεται χρήση αυτής στην αναπαράσταση των λύσεων προβλημάτων συνοριακών και αρχικών – συνοριακών συνθηκών καθώς και ημελέτη των τριών εξισώσεων της Μαθηματικής Φυσικήςστις διαστάσεις 1, 2 και 3. Δεξιότητες: Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής/τρια θα είναι σε θέση να: •Κατανοήσει βασικές έννοιες και αποτελέσματα από την θεωρία των Διαφορικών Εξισώσεων •Να χρησιμοποιήσει και εφαρμόσει αποτελέσματα Λογισμού, Γραμμικής Άλγεβρας καιΜαθηματικής Ανάλυσης για την θεμελίωση και κατανόηση βασικών αποτελεσμάτων του μαθήματος. •Να χρησιμοποιήσει τα αποτελέσματα του μαθήματος σε εφαρμογές στις Θετικές Επιστήμες, την Τεχνολογία καθώς και τις Οικονομικές και Κοινωνικές Επιστήμες. Ικανότητες: Με την επιτυχή παρακολούθηση του μαθήματοςκαλλιεργείται η ικανότητα για: •Αυτόνομη εργασία (δευτερευόντως,ομαδική εργασία, μέσω της ανάθεσης συλλογικών εργασιών) •Συνδυασμό γνώσεων και ικανοτήτων για την αντιμετώπιση προβλημάτων δυναμικών συστημάτων. •Εργασία στο διεθνές περιβάλλον, αφού το μάθημα παρακολουθεί στενά τις διεθνείς εξελίξεις στο αντικείμενο, •Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον λόγω του ευρύτατου πεδίου εφαρμογών σε όλες τις Θετικές Επιστήμες, την Τεχνολογία καθώς και τις Οικονομικές και Κοινωνικές Επιστήμες . •Εφαρμογή αποτελεσμάτωνΛογισμού, Γραμμικής Άλγεβρας καιΜαθηματικής Ανάλυσης για την θεμελίωση και κατανόηση βασικών αποτελεσμάτων της θεωρίας Διαφορικών Εξισώσεων.

.ΜΙΓΑΔΙΚΕΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ [1] Βασική Θεωρία της Μιγαδικής Ανάλυσης: Μιγαδικό Επίπεδο – Βασικά Στοιχεία Μιγαδικών Αριθμών [2] Τοπολογία ΜιγαδικούΕπιπέδου [3]Αναλυτικές (Ολόμορφες) Συναρτήσεις [4] Στοιχειώδεις Αναλυτικές Συναρτήσεις: 1. Εκθε

Οι επισκέπτες δεν έχουν πρόσβαση στο μάθημα αυτό. Παρακαλούμε συνδεθείτε (με τον λογαριασμό σας).