Επιλογές εγγραφής
8033 Αριθμητική Ανάλυση II
8ο Εξάμηνο ΝΜΜ
Διδακτικές Μονάδες : 3
Γλώσσα : el
Μαθησιακά Αποτελέσματα : Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος η/ο φοιτήτρια/ής θα είναι σε θέση να:
• Κατανοήσει την έννοια της ασθενούς λύσης, της διακριτής ασθενούς λύσης, των πεπερασμένων στοιχείων, καθώς και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (ευστάθεια, επιλυσιμότητα γραμμικού συστήματος και εκτιμήσεις σφαλμάτων).
• Κατανοήσει τις βασικές μεθόδους πεπερασμένων διαφορών για τη μελέτη αριθμητικών μεθόδων προβλημάτων συνοριακών τιμών, καθώς και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά των μεθόδων αυτών (ευστάθεια, επιλυσιμότητα γραμμικού συστήματος και εκτιμήσεις σφαλμάτων).
• Είναι σε θέση να συνεργαστεί με τους συμφοιτητές της/του για την επίλυση σύνθετων πρακτικών προβλημάτων με χρήση των παραπάνω μεθόδων.
• Παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου Galerkin με πεπερασμένα στοιχεία σε μονοδιάστατα προβλήματα δύο συνοριακών τιμών και σε διδιάστατα προβλήματα Dirichlet.
• Χώροι Hilbert, Θεώρημα Προβολής.
• Προβλήματα Συνοριακών Τιμών και Μέθοδος Galerkin: Γενική ασθενής μορφή. Θεώρημα Lax-Milgram. Θεώρημα Galerkin. Γενική εκτίμηση σφάλματος.
• Γενικευμένες παράγωγοι και χώροι Sobolev. Τύποι Green.
• Ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών τιμών. Ύπαρξη και μοναδικότητα.
• Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Ελλειπτικά Προβλήματα Συνοριακών Τιμών: Μονοδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. Tμηματικά πολυωνυμικές συναρτήσεις. Κυβικές συναρτήσεις Hermite και splines. Διδιάστατα και τρισδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. Εκτιμήσεις σφάλματος.
• Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Εξελικτικά Προβλήματα Συνοριακών Τιμών: Παραβολικά και υπερβολικά προβλήματα.
• Εφαρμογές: Ροή ρευστού, Ροή θερμότητας, Φορτισμένη δοκός.
• Πεπερασμένες Διαφορές: Μονοδιάστατο πρόβλημα δύο συνοριακών τιμών, Μη ομογενές πρόβλημα Dirichlet για εξίσωση Poisson (Σχήμα 5 σημείων), Εξίσωση θερμότητας (FTCS, Crank-Nicolson, Ευστάθεια), Υπερβολικά προβλήματα (CFL συνθήκη).
• Στόχος του μαθήματος είναι η κατανόηση των βασικών μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων και διαφορών για την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών, καθώς και των ποιοτικών χαρακτηριστικών των μεθόδων αυτών (ευστάθεια, επιλυσιμότητα γραμμικού συστήματος και εκτιμήσεις σφαλμάτων).