Επιλογές εγγραφής
8040 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις και Προβλήματα Συνοριακών Τιμών
5ο Εξάμηνο ΝΜΜ
Διδακτικές Μονάδες : 5
Γλώσσα : el
Μαθησιακά Αποτελέσματα : Το μάθημα αυτό αποτελεί το βασικό μάθημα εφαρμοσμένων μαθηματικών που κρίνεται απαραίτητο στα πλαίσια των Επιστημών Μηχανικού.
Ή ύλη του μαθήματος στοχεύει αρχικά στην εισαγωγή των σπουδαστών στις βασικές αρχές και έννοιες μοντελοποίησης φυσικών διεργασιών με διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Μια πρώτη εξοικείωση με την εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων μέσα από την αποδόμηση των ισοζυγίων που περιγράφουν τη φυσική συμπεριφορά των φυσικών διαδικασιών είναι απαραίτητη για κάθε εκολλαπτόμενο Μηχανικό, ώστε να είναι σε θέση να μοντελοποιεί συνθετότερα προβλήματα εφαρμογών. Η κατανόηση της ενότητας ενός διαφορικού νόμου και των συνοριακών ή (και) αρχικών συνθηκών που το συνοδεύουν, η οποία ενότητα οδηγεί στη συγκρότηση καλά τοποθετημένων προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών, είναι μια απαραίτητη εννοιολογικά προϋπόθεση για την κατανόηση της αλληλοεξάρτησης μεταξύ του μηχανισμού εξέλιξης ενός συστήματος και των συνθηκών αλληλεπίδρασης αυτού με το περιβάλλον του κατά τη μελέτη μιας πειραματικής ή πραγματικής διαδικασίας.
Στη συνέχεια, προσφέρονται όλα τα αναλυτικά εργαλεία για την επίλυση των προαναφερθέντων προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών με δύο βασικούς γνωσιακούς πυλώνες: Τον λογισμό των διαφορικών εξισώσεων και το πεδίο της Μιγαδικής Ανάλυσης. Το μαθησιακό αποτέλεσμα είναι η δόμηση μιας ισχυρής και συγκροτημένης γνώσης των ποιοτικών αναλυτικών μεθόδων για την μελέτη μιας μεγάλης γκάμας προβλημάτων εφαρμοσμένων μαθηματικών με στόχευση σε προβλήματα Μηχανικού και ειδικότερα Ναυπηγού Μηχανικού.
Ως προς το τελευταίο, τονίζουμε την έμφαση στη παρουσίαση πρωτολειακών μορφών της εξίσωσης Navier-Stokes καθώς και μελέτης διδιάστατων ροών όπου ο συγκερασμός θεωρίας διαφορικών εξισώσεων και μιγαδικής ανάλυσης αποτελεί μια εξαιρετική μόχλευση μεθοδολογιών που ενισχύει δραστικά το θεωρητικό υπόβαθρο των φοιτητών και οξύνει την ερευνητική τους ικανότητα με έναν ολιστικό τρόπο.
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / τρια :
• θα έχει αναπτύξει μια ολοκληρωμένη άποψη για τα χαρακτηριστικά της ερευνητικής δραστηριότητας.
• θα έχει αποκτήσει μια συγκροτημένη γνώση με όλα τα χρήσιμα μαθηματικά και αναλυτικά εργαλεία που θα του επιτρέπουν να προβαίνει σε μοντελοποίηση φυσικών διεργασιών.
• θα έχει κατανοήσει τις βασικές αρχές επίλυσης μοντέλων προσομοίωσης προβλημάτων της Επιστήμης του Μηχανικού.
• θα έχει εντρυφήσει στις αρχές της διεπιστημονικότητας, δεδομένης της συνύπαρξης στο μάθημα πολλών αλλά άρρηκτα συνδεδεμένων θεματικών υποενοτήτων.
Σειρές Fourier. Προβλήματα Sturm-Liouville. Μη ομογενή συνοριακά προβλήματα.Θεμελιώδεις διαφορικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής (Laplace, κύματος, θερμότητας) σε 1, 2 και 3 χωρικές διαστάσεις. (Παραγωγή των εξισώσεων από φυσικούς νόμους). Γραμμικές, ημιγραμμικές και σχεδόν γραμμικές μερικές διαφορικές πρώτης τάξης. Η μέθοδος των χαρακτηριστικών καμπυλών. Η έκρηξη λύσεων. Ταξινόμηση ΜΔΕ δευτέρας τάξεως (ελλειπτικές, παραβολικές, υπερβολικές). Καλά τοποθετημένα προβλήματα. Προβλήματα συνοριακών τιμών (προβλήματα Dirichlet, Neumann, Robin). Μέθοδοι λύσεως ΜΔΕ. (Χωρισμός μεταβλητών σε διάφορες γεωμετρικές αναπαραστάσεις ). Μέθοδοι επίλυσης (Μετασχηματισμοί Fourier και Laplace). Μιγαδικές Συναρτήσεις: Σύμμορφη απεικόνιση. Μετασχηματισμός Schwartz-Cristoffel. Μαθηματική θεωρία διδιάστατης ρευστομηχανικής με χρήση μιγαδικού λογισμού
Οι επισκέπτες δεν έχουν πρόσβαση στο μάθημα αυτό. Παρακαλούμε συνδεθείτε (με τον λογαριασμό σας).