5ο Εξάμηνο ΕΜΦΕ

Εισαγωγή - Στόχοι του μαθήματος και εφαρμογές - Χρηματοοικονομικά παράγωγα - Προθεσμιακά συμβόλαια και δικαιώματα - Η αρχή της μη-επιτηδειότητας (no-arbitrage) - Μοντέλο μιας περιόδου - Το θεμελιώδες θεώρημα της αποτίμησης χρεογράφων - Αποτίμηση παραγώγων - Μοντέλο πολλαπλών περιόδων - Δεσμευμένη μέση τιμή και martingales - Το θεμελιώδες θεώρημα της αποτίμησης χρεογράφων - Αποτίμηση παραγώγων - Διωνυμικό μοντέλο - Μοντέλο Black-Scholes - Χρόνοι διακοπής - Αμερικάνικα παράγωγα - Εξωτικά παράγωγα - Βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου - Ειδικά θέματα.

(1) Ευκλείδεια γεωμετρία. Αξιωματικοποίηση ευκλείδειας γεωμετρίας. Καθετότητα και παραλληλία ευθειών και επιπέδων. Ασυμβατότητα ευθειών. Θεώρημα τριών καθέτων. Δίεδρες και στερεές γωνίες. Πολύεδρα και στερεά. Θεώρημα Euler. Γενικευμένο πρίσμα, πυραμίδα, κώνος, κύλινδρος. Σφαίρα. Τετράεδρα. Όγκος. Κανονικά στερεά, Αρχιμήδεια στερεά, αντιπρίσματα. Ισομετρίες αντιστροφές. (2) Υπερβολική Γεωμετρία. Το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη και οι αρνήσεις του. Σφαίρα του Riemann και διπλός λόγος τεσσάρων σημείων της. Μετασχηματισμοί Mobius. Αξιωματικοποίηση υπερβολικής γεωμετρίας. Μοντέλα υπερβολικού επιπέδου, υπερβολικές ισομετρίες. Παραλληλία, υπερπαραλληλία, σχετικότητα και απολυτότητα μετρήσεων. Εμβαδά. (3) Προβολική Γεωμετρία. Τομή και προβολή. Προοπτικότητες, ομολογίες, επ’ άπειρον σημεία. Αξιωματικοποίηση προβολικής γεωμετρίας, δυικότητα. Θεώρημα Desargues, Θ. Πάππου. Απλοί και διπλοί λόγοι, αρμονικές τετράδες σημείων, αρμονικά συζυγή σημεία. Τετράπλευρα και τετρακόρυφα. Κύκλοι στο προβολικό επίπεδο, συνεκτικότητα και προσανατολισιμότητα. Ομογενείς συντεταγμένες. Κωνικές τομές. Προβλήματα του Απολλωνίου. (4) Παραστατική Γεωμετρία. Ίχνη, κατάκλιση επιπέδων. Παράσταση με προβολές σε δύο επίπεδα (Monge). Παράσταση με προβολές σε ένα επίπεδο με υψόμετρα. Αξονομετρία. Παράσταση τομής επιπέδου με στερεό. Παράσταση κυλινδρικής έλικας. Γραφική επίλυση σχεδιαστικών και μετρικών προβλημάτων: χάραξη κάτοψης στέγης, διαπίστωση ορατότητας και χάραξη σήραγγας σε τοπογραφικό, εύρεση αληθών μηκών, γωνιών και εμβαδών. (5) Άλλες Γεωμετρίες. Στοιχεία απόλυτης και ομοπαραλληλικής γεωμετρίας, μορφοκλάσματα.

8 εργαστηριακές ασκήσεις (3-ωρης διάρκειας) από τις ακόλουθες: Ακτινοβολία μέλανος σώματος. Περίθλαση ηλεκτρονίων. Οπτική φασματοσκοπία. Συμβολή και περίθλαση φωτός. Μικροκύματα. Θερμιονική εκπομπή ηλεκτρονίων. Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Μέτρηση του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας υλικών. Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στα υγρά. Μελέτη των ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα.

Εισαγωγή στην αριθμητική γραμμική αλγεβρα: Πίνακες, ιδιοτιμές, νόρμες, φασματική ακτίνα, δείκτης κατάστασης, βασικές εκτιμήσεις ευστάθειας. Βασικές Μέθοδοι: Υπολο- γιστικές τεχνικές με βάση τη μέθοδο απαλοιφής Gauss, εκτιμήσεις σφαλμάτων, ευστά- θεια, σφάλματα μηχανής, στρατηγικές οδήγησης, αλγοριθμική μορφοποίηση, παραγοντοποίηση LU, Cholesky, αλγόριθμοι Doolittle-Crout. παραγοντοποίηση LDLT , QR. Επαναληπτικές Μέθοδοι: Ορισμοί και βασικά θεωρήματα, μέθοδοι Jacobi, Gauss Seidel, Η μέθοδος της χαλάρωσης JOR, SOR, γενική θεωρία μεθόδων Richardson, η μέθοδος των κλίσεων, η μέθοδος των συζυγών κλίσεων, εισαγωγή στις μεθόδους Arnoldi, Krylov, GMRES. Υπολογισμοί ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων: Εισαγωγή στις γεωμετρικές ιδιότητες των ιδιοτιμών, εισαγωγικές εκτιμήσεις ευστάθειας, η μέθοδος των δυνάμεων, η μέθοδος QR, πίνακες Householder, Givens, η μέθοδος Lanczos. Μη γραμμικά συστήματα: Εισαγωγή στις γενικές επαναληπτικές μεθόδους, η μέθοδος Newton- Raphson, αλγοριθμική μορφοποίηση.

Αριθμητικά συστήματα: Δυαδικό, δεκαδικό, δεκαεξάρικο, μετατροπές μεταξύ συστημάτων. Λογική. Λογικός σχεδιασμός. Αρχιτεκτονική υπολογιστών. Λειτουργικά συστήματα. Αλγόριθμοι: Η έννοια του αλγόριθμου, ψευδο-κώδικας, εντολές διακλάδωσης, εντολές επανάληψης, είσοδος/έξοδος. Βασικοί απλοί αλγόριθμοι (αναζήτηση, μέγιστο/ελάχιστο, ταξινόμηση). Αναδρομή, επαγωγή. Αποδοτικότητα αλγορίθμων, ασυμπτωτική πολυπλοκότητα. Δομές δεδομένων: Διανύσματα, συνδεδεμένες λίστες. Διαδίκτυο: HTML Κατασκευή απλών ιστοσελίδων, ενσωμάτωση εκπαιδευτικών Applets, τύποι αρχείων. Άλλα θέματα: Συμπίεση δεδομένων. Βάσεις δεδομένων. Κρυπτογραφία, ασφάλεια δεδομένων. Ιστορία των υπολογιστών. Κοινωνικά ζητήματα που προκύπτουν από την χρήση των υπολογιστών (προστασία προσωπικών δεδομένων, ηλεκτρονικό έγκλημα, πνευματικά δικαιώματα, κ.α.). Το μάθημα περιλαμβάνει εργαστηριακές ασκήσεις για το τμήμα που αφορά την «ανάπτυξη ιστοσελίδων» και τη χρήση του διαδικτύου. Το υπόλοιπο τμήμα του μαθήματος υποστηρίζεται από φροντιστηριακές ασκήσεις.

Χαρακτηριστικές ιδιότητες μακροσκοπικών συστημάτων και βασικές έννοιες στατι- στικής. Στατιστική περιγραφή συστημάτων από σωματίδια: Προσδιορισμός κατάστασης, το στατιστικό σύνολο. Στατιστικά αιτήματα. Υπολογισμοί πιθανοτήτων, αριθμός προσιτών καταστάσεων μακροσκοπικού συστήματος. Aλληλεπίδραση (θερμική, αδιαβατική, γενική) μεταξύ μακροσκοπικών συστημάτων. 1ος νόμος της θερμοδυναμικής, απειροστές μεταβολές. Περιορισμοί, ισορροπία, μη αναστρέψιμο. Η θερμική αλληλεπίδραση. Συνθήκη ισορροπίας μεταξύ δύο μακροσκοπικών συστημάτων. Προσέγγιση στη θερμική ισορροπία. Ορισμός της θερμοκρασίας, μεταφορά μικρών ποσών θερμότητας. Σύστημα σε επαφή με δεξαμενή θερμότητας, η συνάρτηση επιμερισμού, το κανονικό σύνολο. Παραμαγνητισμός, Το ιδανικό αέριο, καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων. Τρίτος νόμος της θερμοδυναμικής, θερμοχωρητικότητα, εντροπία αναμίξεως. Ισορροπία φάσεων (ελεύθερη ενέργεια Gibbs, το χημικό δυναμικό, εξίσωση Clausius-Clapeyron). Κβαντική στατιστική ιδανικών αερίων. Στατιστική Fermi – Dirac, Στατιστική Bose – Einstein και στατιστική φωτονίων. Ακτινοβολία μέλανος σώματος- νόμος του Planck Μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων στα μέταλλα.

Κυματικές έννοιες, εισαγωγή στην οπτική: Πόλωση του φωτός. Ανάκλαση, διάθλαση σε επίπεδες και καμπύλες επιφάνειες. Γεωμετρική οπτική: Κάτοπτρα, φακοί, πρίσματα, οπτικές ίνες. Ιδιότητες και σφάλματα οπτικών στοιχείων. Οπτικά όργανα (οφθαλμός, μεγεθυντικός φακός, μικροσκόπιο, τηλεσκόπιο). Διπλοθλαστικά υλικά: Οπτική δράση. Επαγόμενα οπτικά φαινόμενα (οπτική διαμόρφωση). Χωρική-χρονική συμφωνία: Συμβολή. Συμβολόμετρα (Διαίρεσης πλάτους – διαίρεσης μετώπου. Συμβολή πολλαπλών δεσμών. Συναρτήσεις συμφωνίας και διακριτότητα (visi- bility). Περίθλαση: Κοντινού πεδίου (Fresnel). Μακρινού πεδίου (Fraunhofer). Οπτικοί μετασχηματισμοί Fourier, οπτικά φίλτρα. Ολογραφία. Αρχές μη-γραμμικής οπτικής: Μείξη συχνοτήτων. Παραγωγή αρμονικών.

Τεχνικές επίλυσης ηλεκτροστατικών προβλημάτων: Ηλεκτρικό πεδίο, Δυναμικό, Ενέργεια. Εξισώσεις Poisson και Laplace. Μέθοδος εικόνων. Χωριζόμενες Μεταβλητές. Πολυπολική ανάπτυξη. Ηλεκτρικά πεδία στην ύλη: Διηλεκτρικά υλικά. Γραμμικά δι- ηλεκτρικά. Μαγνητικά πεδία στην ύλη: Μαγνητικό Πεδίο. Μαγνητικά υλικά. Μαγνήτιση. Γραμμικά και μη Γραμμικά μαγνητικά υλικά. Εξισώσεις: Εξισώσεις του Maxwell στο κενό και στην ύλη. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα στο κενό. Διάνυσμα Poynting.

Θεμελιώδης Θεωρία: Θεωρήματα Ύπαρξης και Μοναδικότητας Λύσεων: Θεώρημα Picard, Θεώρημα Peano. Επεκτασιμότητα Λύσεων. Διαφορησιμότητα Λύσεων. Συνεχής Εξάρτηση από Αρχικά Δεδομένα και Παράμετρο. Ανισότητα Gronwall. Ευστάθεια: Εισαγωγή. Αυτόνομα Συστήματα. Ευστάθεια Γραμμικών Συστημάτων: Γενική Θεωρία, Αυτόνομα. Γραμμικά Συστήματα στο Επίπεδο. Ευστάθεια Σχεδόν Γραμμικών Συστημάτων: Γραμμικοποίηση. Μέθοδος Lyapunov. Θεώρημα Κεντρικής Πολλαπλότητας. Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας. Περιοδικές Λύσεις: Θεωρία Floquet. Θεώρημα Poincare-Bendixson, Eφαρμογές. Ευστάθεια Περιοδικών Λύσεων. Περιοδικές Λύσεις για μη-Αυτόνομα Συστήματα. Εφαρμογές: Εξίσωση Ταλαντωτή. Εξίσωση Van der Pol. Εξίσωση Mathieu. Εξίσωση Hill. Εξίσωση Lienard. Θωρία Διακλαδώσεων: Εισαγωγικές έννοιες. Στοιχειώδη Παραδείγματα. Διακλάδωση Poincare – Andronov – Hopf. Εφαρμογές.

Εισαγωγή: Γενικές Αρχές, Αξιώματα, Τελεστές – Μεταθέτες, Ιδιότητες Τελεστών. Γενι- κευμένες Σχέσεις Αβεβαιότητας, Χρονική μεταβολή μέσης τιμής Φυσικών Μεγεθών, Συμ- μετρίες Φορμαλισμός Dirac, Αναπαράσταση τελεστών με Πίνακες, Χώρος ορμών. Εφαρ- μογές της εξίσωσης του Schroedinger: 1-διάστατα δυναμικά, Δυναμικά δ-function, 3- διάστατο πηγάδι δυναμικού. 1-διάστατα προβλήματα σκέδασης. Φαινόμενο σήραγγας. Εφαρμογές. Αρμονικός Ταλαντωτής: Πολυωνυμική λύση (Hermite). Αλγεβρική λύση (τε- λεστές δημιουργίας – καταστροφής). 2-διάστατος και 3-διάστατος αρμονικός ταλαντωτής. Εκφυλισμός. Θεωρία Διαταραχών: Χρονοανεξάρτητη. Μη-εκφυλισμένες στάθμες. Εκφυλισμένες στάθμες. Χρονοεξαρτώμενη, Πρώτης τάξης προσέγγιση. Άτομο του Υδρογόνου: Λύση γωνιακής εξίσωσης, Σφαιρικές αρμονικές. Λύση ακτινικής εξίσωσης, Ενεργειακό φάσμα. Εφαρμογή θεωρίας διαταραχών, Σχετικιστική εξίσωση, Άτομο Ηλίου. 3-διάστατα δυναμικά με σφαιρική συμμετρία. Στροφορμή – Spin: Αλγεβρική λύση για τη στροφορμή (Ιδιοτιμές Ιδιοανύσματα). Spin. Άθροιση στροφορμών, Εφαρμογές.

Ατομική θεωρία: Περιοδικό σύστημα. Χημικοί δεσμοί: Χημεία στερεάς κατάστασης. Χημεία συμπλόκων και οργανομεταλλικών ενώσεων. Χημική κινητική – Χημική ισορροπία. Χημική κινητική – Χημική ισορροπία. Ηλεκτροχημεία. Φωτοχημεία και φωτοηλεκτροχημεία. Πυρηνική Χημεία. Ειδικά θέματα: Χημεία του νερού. Χημεία της ατμόσφαιρας. Υλικά: Εργαστηριακές Ασκήσεις: Χημεία υδατικών διαλυμάτων: Χαρακτηριστικές αντιδράσεις ανιόντων. Χαρακτηριστικές αντιδράσεις κατιόντων. Φυσικοχημεία.: Χημική κινητική. Διάβρωση. Γαλβανικά στοιχεία. Ηλεκτρόλυση.

Βασικές πράξεις συνόλων. Ισοπληθικότητα. Παράδοξο του Russel και αξιωματική θεμελίωση (ZFC). Διατεταγμένα ζεύγη, σχέσεις και συναρτήσεις. Φυσικοί Αριθμοί: ύπαρξη, μοναδικότητα, θεμελιώδεις ιδιότητες, επαγωγή και αναδρομή. Μερικά διατεταγμένοι χώροι και Θεωρήματα Σταθερού Σημείου. Καλά διατεταγμένοι χώροι: θεμελιώδεις ιδιότητες και υπερπεπερασμένη Αναδρομή. Αξίωμα Επιλογής και ισοδύναμες προτάσεις. Βασική πληθική αριθμητική. Αξίωμα Αντικατάστασης. Διατακτικοί αριθμοί και βασικές προτάσεις.

Η αρχή της Θεωρίας πληροφοριών. Η έννοια της πιθανότητας. Μέτρο πληροφορίας του Shannon και η έννοια της εντροπίας. Δεσμευμένα, από κοινού και αμοιβαία μέτρα πλη- ροφορίας. Αξιωματική θεμελίωση. Το μοντέλο επικοινωνίας. Η διακριτή πηγή πληρο- φορίας χωρίς μνήμη. Κωδικοποίηση πηγής. Μέθοδοι Κωδικοποίησης: Μέθοδος του Fano, μέθοδος του Shannon, μέθοδος του Huffman, μέθοδος των Gilbert-Moore. Πιο πιθανά μηνύματα. Το πρώτο θεώρημα κωδικοποίησης του Shannon. Η διακριτή πηγή πληροφορίας με μνήμη. Διαδικασίες Markov. Η πληροφορία μιας διακριτής πηγής με μνήμη. Θέματα κωδικοποίησης. Κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων. Το φράγμα του Hamming, του Plotkin, και του Singleton. Κώδικες Hadamard. Κώδικες παραγόμενοι από block σχεδιασμούς. Κώδικες Reed-Muller. Κώδικες Golay. Κώδικες και Λατινικά τετράγωνα. Ισοδυναμία κωδίκων. Γραμμικοί κώδικες. Ισοδυναμία γραμμικών κωδίκων. Δυϊκοί κώδικες. Κώδικες Hamming. Τέλειοι Κώδικες. Κυκλικοί Κώδικες. Απαριθμητές βάρους.

Ιστορικά στοιχεία. Εισαγωγή στις ομάδες: Διμελής πράξη - σχέση ισοδυναμίας. Ομάδες, υποομάδες, ομομορφισμοί–ισομορφισμοί, ομάδες συμμετριών, οι ν-οστές ρίζες της μονάδας, δομές ομάδων με 2, 3, 4, 5 στοιχεία, τα κουατέρνια. Οι κυκλικές ομάδες και η ταξινόμησή τους. Ομάδες μεταθέσεων: Τροχιές, κύκλοι, άρτιες και περιττές μεταθέσεις, το Θεώρημα Cayley. Ομομορφισμοί και ομάδες-πηλίκα: Σύμπλοκα, το Θεώρημα Lagrange, εφαρμογή στους γραμμικούς κώδικες. Κανονική υποομάδα, ομάδα-πηλίκο, το Θεμελιώδες Θεώρημα ομομορφισμών. Η αντιμεταθέτρια υποομάδα, αβελιανοποίηση. Ελεύθερες ομάδες, παράσταση ομάδας, τοπολογικές εφαρμογές. Ελεύθερες αβελιανές ομάδες, η ταξινόμηση των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων και η γεωμετρική ερμηνεία τους. Δράση ομάδας πάνω σε σύνολο, το Θεώρημα Burnside, εφαρμογές σε προβλήματα διακριτών μαθηματικών. Εισαγωγή σε δακτυλίους, σώματα, ακέραιες περιοχές και βασικά παραδείγματα. Στοιχεία θεωρίας αριθμών: διαιρετότητα ακεραίων, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη, το Θεώρημα Bezout. Ισοτιμίες ακεραίων, τα Θεωρήματα των Fermat και Euler και εφαρμογές, το Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων, θεωρήματα πρώτων αριθμών, άλυτα προβλήματα και εικασίες.

Συνδυαστική: Μεταθέσεις, Συνδυασμοί, Διατάξεις. Εφαρμογές των διωνυμικών συντε- λεστών. Μεταθέσεις και συνδυασμοί με επανάληψη. Πολυωνυμικοί συντελεστές. Η αρχή του περιστερεώνα. Το θεώρημα και οι αριθμοί Ramsey. Η αρχή του εγκλεισμού και αποκλεισμού. Μεταθέσεις με απαγορευμένες θέσεις και εφαρμογές. Αναδρομικές σχέσεις (α.σ.), γεννήτριες συναρτήσεις (γ.σ.): Η ακολουθία Fibonacci. Γραμμικές ομογενείς α.σ. με σταθερούς συντελεστές. Αριθμοί Caralan και αριθμοί Stirling 1ου και 2ου είδους.

Εισαγωγή. Υποθέσεις της Μηχανικής του Συνεχούς Μέσου. Κινηματική Περιγραφή στο Συνεχές Μέσο: Υλική Περιγραφή, Χωρική Περιγραφή, Βαθμίδα Μετατόπισης, Τροπή, Υλική Παράγωγος ως προς τον Χρόνο, Επιτάχυνση Υλικού Σημείου. Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds. Νόμοι Διατήρησης: Διατήρηση Μάζας , Ορμής και Ενέργειας. Εισαγωγικά Στοιχεία της Μηχανικής των Ρευστών: Ροή Ασυμπίεστου και χωρίς Τριβές Ρευστού, Εξίσωση Συνέχειας, Συνάρτηση Ροής, Εξίσωση Bernoulli. Εφαρμογές της Διατήρησης Ορμής και Στροφορμής: Ροή Ασυμπίεστων Ρευστών με Ελεύθερη Επιφάνεια, Κύματα σε Ιδεατά Ρευστά, Επιφανειακά Κύματα, Ροή εντός Σωλήνων. Κατάστρωση Διαφορικών Εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους στην Μηχανική του Συνεχούς Μέσου: ΜΔΕ 1ης Τάξης, ΜΔΕ 2ης Τάξης (Υπερβολικές, Ελλειπτικές, Πα- ραβολικές), Θεωρία των Χαρακτηριστικών, Εφαρμογές στην Κυκλοφοριακή Ροή. Εισαγωγή στη Διάδοση της Θερμότητας. Καταστατικές Σχέσεις για Στερεά και Ρευστά: Στοιχεία Ελαστικότητας και Ιξο-ελαστικότητας, Νευτώνεια Ρευστά, Εξισώσεις Navier- Stokes.

Η έννοια της πιθανότητας: Χώροι πιθανοτήτων. Μονότονες ακολουθίες ενδεχομένων. 1ο Λήμμα Borel-Cantelli.Aνεξαρτησία και 2ο Λήμμα Borel-Cantelli. Δεσμευμένη πιθανότητα και Θεώρημα Bayes. Τυχαίες μεταβλητές: Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας τ.μ. Ειδικές κατανομές τ.μ. Διανυμική, Αρνητική Διανυμική, Poisson, Ομοιόμορφη, Γάμμα και Κανονική κατανομή. Πολυδιάστατες Κατανομές Πολυωνυμική και πολυμεταβλητή Κανονική κατανομή. Παράμετροι κατανομών: Μέση τιμή, Διασπορά, Συνδιασπορά και πίνακας Διασποράς. Δεσμευμένη μέση τιμή. Κατανομή συναρτήσεων τ.μ. Ροπογεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις τ.μ. Συγκλίσεις ακολουθιών τ.μ. Νόμοι των μεγάλων αριθμών. Οριακά Θεωρήματα και εφαρμογές.